پاسخ کاردرکلاس صفحه 40 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 40 ریاضی دهم - مسئله ۱ این تمرین به صورت مستقیم از رابطه‌ی کلیدی **$\mathbf{\text{شیب خط} = \tan \alpha}$** استفاده می‌کند که در آن $\alpha$ زاویه‌ی ساخته‌شده توسط خط با جهت مثبت محور $x$ها است. برای حل، ابتدا باید معادله‌ی خط را به فرم استاندارد **$y = mx + b$** تبدیل کنیم تا شیب ($m$) به دست آید. ### **الف) خط $\mathbf{2y - 3x = 5}$** **گام ۱: پیدا کردن شیب ($m$)** معادله را به فرم $y = mx + b$ تبدیل می‌کنیم: $$2y = 3x + 5$$ $$y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$$ **شیب خط ($m$)** ضریب $x$ است: $$m = \mathbf{\frac{3}{2}}$$ **گام ۲: پیدا کردن تانژانت زاویه‌ی $\alpha$** با استفاده از رابطه‌ی شیب و تانژانت: $$\tan \alpha = m$$ $$\tan \alpha = \mathbf{\frac{3}{2}} \quad \text{یا} \quad 1.5$$ **توضیح:** این زاویه ($\alpha$) زاویه‌ای است که $\tan \alpha = 1.5$ دارد (یک زاویه حاده در ربع اول). *** ### **ب) خط $\mathbf{x + y = 2}$** **گام ۱: پیدا کردن شیب ($m$)** معادله را به فرم $y = mx + b$ تبدیل می‌کنیم: $$y = -x + 2$$ **شیب خط ($m$)** ضریب $x$ است: $$m = \mathbf{-1}$$ **گام ۲: پیدا کردن تانژانت زاویه‌ی $\alpha$** با استفاده از رابطه‌ی شیب و تانژانت: $$\tan \alpha = m$$ $$\tan \alpha = \mathbf{-1}$$ **توضیح:** تانژانت منفی نشان می‌دهد که زاویه‌ی $\alpha$ **زاویه‌ای منفرجه** است و در **ربع دوم** قرار دارد (چون خط سرازیری دارد). ما می‌دانیم که $\tan 45^\circ = 1$. پس زاویه‌ی مرجع ما $45^\circ$ است. زاویه‌ای که تانژانت آن $-1$ باشد و در ربع دوم قرار گیرد، برابر است با: $$\alpha = 180^\circ - 45^\circ = \mathbf{135^\circ}$$ (در واقع خط $x+y=2$ با جهت مثبت محور $x$ها، زاویه‌ی $\mathbf{135^\circ}$ می‌سازد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 40 ریاضی دهم - مسئله ۲ این مسئله عکس حالت قبل است. با استفاده از زاویه‌ی داده‌شده، ابتدا **شیب خط** را پیدا می‌کنیم، و سپس با داشتن شیب و یک نقطه، **معادله‌ی خط** را می‌نویسیم. ### **گام ۱: پیدا کردن شیب خط ($m$)** شیب خط ($m$) برابر با تانژانت زاویه‌ی آن ($\alpha$) با جهت مثبت محور $x$ها است. $$\alpha = 30^\circ$$ $$m = \tan \alpha = \tan 30^\circ$$ از جدول زوایای خاص می‌دانیم که: $$m = \tan 30^\circ = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$ ### **گام ۲: نوشتن معادله خط** از **فرمول معادله‌ی خط با شیب و یک نقطه** استفاده می‌کنیم: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ * **شیب:** $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$ * **نقطه:** $(x_1, y_1) = (1, 0)$ مقادیر را در فرمول جایگذاری می‌کنیم: $$y - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 1)$$ **گام ۳: ساده‌سازی معادله (اختیاری)** معادله‌ی نهایی به فرم شیب و عرض از مبدأ: $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3}$$ **پاسخ نهایی:** معادله‌ی خط مورد نظر به صورت **$$y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 1)$$** (یا **$$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3}$$**) است.